«Στοχαστική μοντελοποίηση τυχαίων πεδίων με τη χρήση του αναπτύγματος Karhunen-Loève», Τσαντίλη Ήβη

Τσαντίλη Ήβη

Μετα-διδάκτορας ΜΗΧΟΠ, έρευνα μέσω ΑΡΙΣΤΕΙΑ

E-mail: ivi.tsantili<στο>mred.tuc.gr

Περίληψη

 Η προσπάθεια κατανόησης και πρόβλεψης φυσικών και μηχανικών συστημάτων οδηγεί στη χρήση μαθηματικών εξισώσεων για την προτυποποίηση των αλληλεπιδράσεων μεταξύ των παραμέτρων του συστήματος και του περιβάλλοντός του. Πολλές φορές λόγω της πολυπλοκότητας του συστήματος ή/και την έλλειψη γνώσης και πρόσβασης σε όλους τους μηχανισμούς/κλίμακες αλληλεπίδρασης η πληροφορία δεν είναι αρκετή για να μοντελοποιήσουμε με επιτυχία όλες τις παραμέτρους του συστήματος χρησιμοποιώντας αιτιοκρατικά μαθηματικά μοντέλα. Στα πλαίσια της στοχαστικής μοντελοποίησης οι παράμετροι/συναρτήσεις που ενέχουν αβεβαιότηται και χωρική εξάρτηση μοντελοποιούνται ως τυχαία πεδία (ΤΠ.) (διακριτά ή συνεχή αντίστοιχα).

            Η χρήση του αναπτύγματος Karhunen-Loève (KL) επιτρέπει την αναπαράσταση ενός συνεχούς ΤΠ μέσω ενός αριθμήσιμου συνόλου τυχαίων μεταβλητών και μιας ορθοκανονικής βάσης που αποτελείται από τις ιδιοσυναρτήσεις της συνάρτησης συνδιασποράς του ΤΠ. Ανάμεσα στα πλεονεκτήματα του αναπτύγματος KL είναι ότι υπάρχει διαβάθμιση της συνεισφοράς κάθε ιδιοσυνάρτησης στην τελική ενέργεια που μοντελοποιείται η οποία και μετράται από την αντίστοιχη ιδιοτιμή. Το ανάπτυγμα KL έχει πλήθος εφαρμογών στη μηχανική και στις φυσικές επιστήμες όπως στη μελέτη τυρβώδους ροής, στη μελέτη πολύπλοκων μη-γραμμικών συστημάτων όπως οι σεισμοί, και στην ανάλυση εικόνας, καθώς επιτρέπει την εύρεση των κυρίαρχων δομών που διέπουν το σύστημα.

Στα πλαίσια της παρούσας έρευνας μελετάται η χρήση του αναπτύγματος KL για τη μοντελοποίηση Σπαρτιάτικων χωρικών τυχαίων πεδίων (ΣΧΤΠ) [3]. Τα ΣΧΤΠ είναι Γκαουσιανά ΤΠ με πιο ευέλικτη παραμετρική δομή που επιτρέπουν την μεταβολή της λειότητας του ΤΠ [4]. Θα παρουσιάσουμε την επίλυση εξισώσεων Fredholm με πυρήνα την σπαρτιάτικη συνάρτηση συνδιακύμανσης που έγινε προκειμένου να πάρουμε το ανάπτυγμα ΚL, καθώς και αποτελέσματα προσομοιώσεων του ΣΧΤΠ.